【题目】在平面直角坐标系中，动圆与圆外切，与圆内切．

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）直线过点且与动圆圆心的轨迹交于、两点．是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由.

【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：

（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；

（2）该种植基地在如图所示的长方形地块的每个格点（横纵直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的面积都为，现从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的平均数.

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.

【题目】如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.

①存在某个位置，使得；

②翻折过程中，的长是定值；

③若，则；

④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.

【题目】已知偶函数，当时，，若，为锐角三角形的两个内角，则（ ）

A. B.

C. D.

【题目】已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.

（1）求抛物线方程及其焦点坐标；

（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）设函数，若存在，使，证明：.

【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：

（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；

（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则的最大值是多少？

（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.

【题目】如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.

①两直线的倾斜角相等，则斜率必相等；

②若动点到定点和定直线的距离相等，则动点的轨迹是抛物线；

③已知、是椭圆的两个焦点，过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为；

④曲线的参数方程为为参数，则它表示双曲线且渐近线方程为；

⑤已知正方形，则以、为焦点，且过、两点的椭圆的离心率为.

【题目】如图，三棱柱中，，，平面平面.

（1）求证：；

（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.