题目内容

【题目】如图,点为圆上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)若点分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于两点,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.

【答案】(1)(2)这样的直线不存在.详见解析

【解析】

(1)设,则,且,通过,转化求解即可.

(2)设Mx1y1),Nx2y2),由题意知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程,假设存在点Q,满足题意,则其充要条件为,则点Q的坐标为(x1+x2y1+y2).由此利用韦达定理结合点Q在曲线上,得到关于k的方程求解即可.

(1)设

由题意知,所以中点,

由中点坐标公式得

又点在圆上,故满足

.

(2)由题意知直线的斜率存在且不为零,

设直线的方程为

因为,故,即 ①,

联立

消去得:

因为为平行四边形,故

在椭圆上,故,整理得,②,

将①代入②,得,该方程无解,

故这样的直线不存在.

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