题目内容

【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种,经研究发现该水果每株的产量(单位:)和与它“相近”的株数具有线性相关关系(两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过),并分别记录了相近株数为0,1,2,3,4时每株产量的相关数据如下:

0

1

2

3

4

15

12

11

9

8

(1)求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程;

(2)有一种植户准备种植该种水果500株,且每株与它“相近”的株数都为,计划收获后能全部售出,价格为10元,如果收入(收入=产量×价格)不低于25000元,则的最大值是多少?

(3)该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点(直线的交点)处都种了一株该种水果,其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为,已知该梯形地块周边无其他树木影响,若从所种的该水果中随机选取一株,试根据(1)中的回归方程,预测它的产量的分布列与数学期望.

附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:.

【答案】(1)

(2)每株“相近”的株数的最大值为5.

(3)的分布列为:

11

一株产量的期望为

【解析】

(1)根据回归系数公式计算回归系数,得出回归方程;

(2)先根据题意求得产量的范围,再根据回归方程解得m的范围即可;

(3)根据相邻株数的取值计算对应的产量,从而得出分布列和数学期望.

(1)由题意得:

所以

所以.

(2)设每株的产量为

根据题意:

解得

解得

所以每株“相近”的株数的最大值为5.

(3)由回归方程得:

时,

时,

时,

时,

由题意得:

所以的分布列为:

11

所以

所以一株产量的期望为.

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