【题目】对于正整数，若存在1，2，…，的一个排列满足

（），则称为“循球数”.证明：

（1）9、11都是循环数；

（2）为循环数的一个必要不充分条件是为质数.

【题目】已知若干个长方体盒子，其棱长均为不大于正奇数的正整数（允许三棱长相同），且盒壁厚度忽略不计，每个盒子的三组对面分别染为红、蓝、黄三色，若没有一个盒子能以同色面平行的方式装入另一个盒子中，则称这些盒子是“和谐的”，求最多有多少个和谐盒子？

【题目】已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）

A.B.

C.D.

（1）新数的位数；

（2）新数被11除的余数。

（1）每个人至少认识其中的671个人；

（2）对于其中任意两个人、，若、相互不认识，则总可以通过其他人间接认识，即存在，使得认识，认识，认识；

（3）不可以将2012位学者排成一排，使得相邻的两个人相互认识.

证明：可以将2012位学者分成两组，其中一组能够排成一圈，使得相邻的人相互认识，另一组任何两个人不认识.

【题目】为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第年需要付出的超市维护和工人工资等费用为万元，已知为等差数列，相关信息如图所示.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）

（Ⅲ）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利）

【题目】如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．

（1）证明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

【题目】一只苍蝇和只蜘蛛被放置在方格表的一些交点处.一次操作包括以下步骤：首先，苍蝇移动到相邻的交点处或者原地不动，然后，每只蜘蛛移动到相邻交点处或者原地不动（同一交点可以同时停留多只蜘蛛）.假设每只蜘蛛和苍蝇总是知道其他蜘蛛和苍蝇的位置.

（1）找出最小的正整数，使得在有限次操作内，蜘蛛能够抓住苍蝇，且与其初始位置无关；

（2）在的空间三维方格中，（1）中的结论又是怎样？

（注）题中相邻是指一个交点仅有一个坐标与另一个交点的同一坐标不同，且差值为1；题中抓住是指蜘蛛和苍蝇位于同一交点.

【题目】设、为正整数，表示的所有正约数的次方之和.证明：对于任意，存在无穷多个正整数，使得.