题目内容
【题目】一只苍蝇和
只蜘蛛被放置在
方格表的一些交点处.一次操作包括以下步骤：首先，苍蝇移动到相邻的交点处或者原地不动，然后，每只蜘蛛移动到相邻交点处或者原地不动（同一交点可以同时停留多只蜘蛛）.假设每只蜘蛛和苍蝇总是知道其他蜘蛛和苍蝇的位置.
（1）找出最小的正整数，使得在有限次操作内，蜘蛛能够抓住苍蝇，且与其初始位置无关；
（2）在
的空间三维方格中，（1）中的结论又是怎样？
（注）题中相邻是指一个交点仅有一个坐标与另一个交点的同一坐标不同，且差值为1；题中抓住是指蜘蛛和苍蝇位于同一交点.
【答案】（1）2 （2）见解析
【解析】
（1）首先证明，一只蜘蛛无法捉到苍蝇.
建立直角坐标系，则蜘蛛、苍蝇活动的范围是
.
对于上述集合中的每个点，至少存在两个集合中的点和它相邻.因此，若某次蜘蛛行动之后与苍蝇不相邻，则苍蝇不动即可；若某次蜘蛛行动后与苍蝇相邻，则它只需进入与其所在点相邻的另一个上述集合中的点.这样蜘蛛捉不到苍蝇.
其次，若有两只蜘蛛
、
，记
与苍蝇
在
次移动后的距离为
，其中，定义两点
与
的距离为
.
首先，可以通过若干次操作使得
.
接下来证明：
（ⅰ）每次移动后，可适当移动、，使得处于以、为对角线的矩形内部或边界上（、的连线不平行于坐标轴）；
（ⅱ）保持
不增，且若干次后必严格减少.
事实上，记
、
轴正方向的单位向量为
、
.则策略如下：
若某次苍蝇移动后某坐标值不在以、为对角线的矩形内部或者边界上，则、同时沿该方向朝所在的方格移动；否则，只要移动或，只要移动
或
，适当选择使、的连线不平行于坐标轴，且保持苍蝇的位置位于上述矩形的内部或边界上.由归纳法易证（ⅰ）.
下面证明（ⅱ）.
事实上，若在次操作前严格位于以、为对角线的矩形内，则该轮次后，必减；否则，必在矩形的某边上且它必须向矩形外移动，由规则知此时不增，但方格表有界，因此，至多在4024步以后不能再向矩形外移动.此时，严格减少.
因为
的初始值为4024，不能无限下降，所以，经过有限步操作后蜘蛛能够抓到苍蝇.
（2）结论不变，
的最小值仍为2.
建立空间直角坐标系，则、的范围是
.
当
时，令、通过若干次操作分别到
与
，且每次操作保持在以、为体对角线的立方体内部或边界（面、棱、顶点）上，且、的连线不平行于平面
、
、
.完全类似可证：每次操作后不增，且至多经过
步后，必定严格减少.
而初始的
，故经过有限步也必定结束操作，蜘蛛抓住苍蝇.
