题目内容
【题目】设
、
为正整数，
表示的所有正约数的次方之和.证明：对于任意
，存在无穷多个正整数，使得
.
【答案】见解析
【解析】
通过递归构造数列
，使得该正整数数列的每一项均符合要求，并且对任何正整数
，均有
严格整除
.
先假设
为
的一个质因子.则是奇数.
故
.
从而，
.
于是，
满足要求.
其次假设
已经取好.
接下来考虑
.
（1）若
有一个质因子
，则
.
所以，
符合条件且被
严格整除，取
即可.
（2）若的质因子均是的质因子，则与
的质因子标准分解式中的质数全部一样，设这两个标准分解式为
，
.
由于
（整体大于部分），故必存在某个
.
不妨设
.则
，
且
.
因为，所以，中含
的幂次大于或等于
.
从而，
.
因此，取
符合要求.
由（1）、（2）及归纳原理，知可以构造出数列.
从而，存在无穷多个
，…满足要求.
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