Question

【题目】设、为正整数，表示的所有正约数的次方之和.证明：对于任意，存在无穷多个正整数，使得.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

通过递归构造数列，使得该正整数数列的每一项均符合要求，并且对任何正整数，均有严格整除.

先假设为的一个质因子.则是奇数.

故.

从而，.

于是，满足要求.

其次假设已经取好.

接下来考虑.

（1）若有一个质因子，则.

所以，符合条件且被严格整除，取即可.

（2）若的质因子均是的质因子，则与的质因子标准分解式中的质数全部一样，设这两个标准分解式为，.

由于（整体大于部分），故必存在某个.

不妨设.则，

且

.

因为，所以，中含的幂次大于或等于.

从而，.

因此，取符合要求.

由（1）、（2）及归纳原理，知可以构造出数列.

从而，存在无穷多个，…满足要求.