Question

【题目】已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

推导出函数是以为周期的周期函数，利用导数分析函数的单调性与极值，可作出函数在区间上的图象，由题意可知，不等式在上有且只有个整数解，然后分、、三种情况讨论，数形结合可求得实数的取值范围.

由于函数为偶函数，则，即，

所以，函数是以为周期的周期函数，

当时，，，令，得.

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

所以，，又，

作出函数在上的图象如下图所示：

由于关于的不等式在上有且只有个整数解，

则关于的不等式在上有且只有个整数解.

①若，由可得，

此时，该不等式在有个整数解，不合乎题意；

②若，由可得或.

不等式在上无整数解；

不等式在上有个整数解.不合乎题意；

③若，由可得或.

不等式在上无整数解，则不等式在上有个整数解，

由于，且，，

所以，，即，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：C.