14．已知函数f(x)=alnxx+bx.的图象过点($\frac{1}{e}$.-$\frac{1}{e}$).且在点处的切线与直线x+y-e=0垂直．(1)求a.b的值．(2)若存在x0∈[$\f——青夏教育精英家教网——

14．已知函数f（x）=alnx^x+bx，（x∈（0，+∞）的图象过点（$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{e}$），且在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-e=0垂直．
（1）求a，b的值．
（2）若存在x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…），使得不等式f（x₀）=$\frac{1}{2}$x₀²-$\frac{1}{2}$tx₀≥-$\frac{3}{2}$成立，求实数t的取值范围；
（3）设函数f（x）的图象上从左至右依次存在三个点B（b，f（b）），C（c，f（c）），D（d，f（d）），且2c=b+d，求证：f（b）+f（d）-2f（c）＜（d-b）ln2．

如图，在三棱柱∠DOT=2∠DMB中，已知∠BMC=30°．，AB=BC=1，BB₁=2，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）设$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{C{C_1}}$（0≤λ≤1），且平面AB₁E与BB₁E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O₁为底面的中心，则O₁A与上底面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值是（　　）

$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

11．已知在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C₁：（x+3）²+（y-1）²=4，⊙C₂与⊙C₁关于直线1：4x+8y-31=0对称．
（1）求⊙C₂的方程；
（2）设P为平面上的点，满足下列条件：过点P存在无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与⊙C₁和⊙C₂相交，且直线l₁被⊙C₁截得的弦长与直线l₂被⊙C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面α所成的角θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，且顶点A在平面α内，B，C，D均在平面α外，则棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是（　　）

[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]

[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，1]

[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$]

[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$]

9．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为（2，1），求线段MN长的取值范围．

8．设函数f（x）=2（a+1）$\sqrt{x}$，g（x）=lnx+bx（a，b∈R），直线y=x+1是函数y=f（x）图象的一条切线．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在其定义域有两个极值点．
①试求b的取值范围；
②证明：若函数y=f（x）-g（x）在其定义域内的两个极值点为x₁，x₂则$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}$≤$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{1}{2}$．

已知点P（1，3），Q（1，2）．设过点P的动直线与抛物线y=x²交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为C，D．记直线AB，CD的斜率分
别为k₁，k₂．
（Ⅰ）当k₁=0时，求弦AB的长；
（Ⅱ）当k₁≠2时，$\frac{{k}_{2}-2}{{k}_{1}-2}$是否为定值？若是，求出该定值．

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，给出以下命题：
①直线A₁B与B₁C所成的角为60°；
②动点M在表面上从点A到点C₁经过的最短路程为1+$\sqrt{2}$；
③若N是线段AC₁上的动点，则直线CN与平面BDC₁所成角的正弦值的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]；
④若P、Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体PQB₁D₁的体积恒为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
则上述命题中正确的有①③④．（填写所有正确命题的序号）

5．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①△DBC是等边三角形；
②AC⊥BD；
③三棱锥D-ABC的体积是$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．
其中正确命题的序号是（　　）

0 246238 246246 246252 246256 246262 246264 246268 246274 246276 246282 246288 246292 246294 246298 246304 246306 246312 246316 246318 246322 246324 246328 246330 246332 246333 246334 246336 246337 246338 246340 246342 246346 246348 246352 246354 246358 246364 246366 246372 246376 246378 246382 246388 246394 246396 246402 246406 246408 246414 246418 246424 246432 266669