题目内容
【题目】已知,
.求证:对任意的
都存在A的一个4元分拆:
使其中某一个
的元素恰好是方程
的一个解.
【答案】见解析
【解析】
依题意,只须证明A中存在4个不同的元素,且某两个之差等于另两个之差.
首先,S中两数之差(大数减小数,以下同)可取1~99共99个值,而A中16个元素可作出个差.由抽屉原理知,必有2个差是相同的,记为
,
其中,从而,
.
若,则命题成立;
若,则取走这一个差
(但并不是取走元素
、
),剩下的119个差在1~99之间取值,又必有2个差是相同的,记为
,其中
,从而,
.
若,则命题成立;
若,则取走这一个差
,剩下的118个
差在1~99之间取值,又得出必有2个差是相同的.
如此类推,最多进行到第15步时,得出,其中
,从而,
.
若,则命题成立.
若,则前15步积累了15个相同差,
,①
,②
……
.
由于,故
不能取A中的最大数也不能取最小数,只有14个可取值,所以,15个
中必有2个是相同的,不妨设
.
由于是在
取走之后才得出的,
故,不妨设
.
①②得
.
由,知
,又
,故
,即
两两不等.
因此,命题成立.
可见,最多进行到第15步时,必能找出A中4个互不相等的元素a、b、c、d,使得.以这4个元素组成
,便可满足题设的全部条件.

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