Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（-2，0）、B（2，0），点C在x轴的上方，且∠ACB=45°，若在给定的直线y=x-3上任取一点P，从点P向圆M引两条切线，切点分别为E、F．
（1）求△ABC外接圆M的方程；
（2）以PM为直径的圆是否过除M外的定点，若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
（3）直线EF是否过定点，若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题弦AB所对圆周角为45°，则其所对的圆心角为90°，则可得半径r，再由圆心在AB的中垂线即y轴上，得圆心，即可得到圆的方程；
（2）设P点坐标，然后得出以PM为直径的圆的方程，可以判断出定点；
（3）（x-$\frac{a}{2}$）²+（y-$\frac{a-1}{2}$）²=$（\frac{a}{2}）^{2}$+$（\frac{a-5}{2}）^{2}$，与x²+（y-2）²=8，相减可得直线EF的方程，即可得出结论．

解答 解：（1）由题弦AB所对圆周角为45°，则其所对的圆心角为90°，
所以半径r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
又圆心在AB的中垂线即y轴上，得圆心为（0，2），
所以圆M的方程为x²+（y-2）²=8；
（2）设P点坐标（a，a-3），则以PM为直径的圆的方程为（x-$\frac{a}{2}$）²+（y-$\frac{a-1}{2}$）²=$（\frac{a}{2}）^{2}$+$（\frac{a-5}{2}）^{2}$，
所以x²+y²+y-6+（-x-y+2）a=0，
所以x²+y²+y-6=0且-x-y+2=0，
所以y=2或y=-$\frac{1}{2}$，
所以x=0或x=$\frac{5}{2}$，
所以以PM为直径的圆是否过除M外的定点为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）；
（3）（x-$\frac{a}{2}$）²+（y-$\frac{a-1}{2}$）²=$（\frac{a}{2}）^{2}$+$（\frac{a-5}{2}）^{2}$，与x²+（y-2）²=8，
相减可得直线EF的方程为a（-x-y+2）=2-5y，
所以2-5y=0且-x-y+2=0，
所以直线EF过定点（1.6，0.4）．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，考查定点问题，注意恒等式的运用，属于中档题．