Question

8．设数列{a_n}中，a₁=4，a_n=3a_n-1+2n-1（n≥2），求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 通过a_n=3a_n-1+2n-1（n≥2）与a_n+1=3a_n+2n+1作差、整理可知a_n+1-a_n+1=3（a_n-a_n-1+1），进而a_n+1-a_n+1=4•3ⁿ，利用a_n+1=（a_n+1-a_n+1）+（a_n-a_n-1+1）+…+（a₂-a₁+1）+a₁-n计算即得结论．

解答 解：∵a_n=3a_n-1+2n-1（n≥2），
∴a_n+1=3a_n+2n+1，
两式相减得a_n+1-a_n=3a_n-3a_n-1+2，
整理得：a_n+1-a_n+1=3（a_n-a_n-1+1），
又∵a₁=4，a₂=3a₁+3=15，
∴a₂-a₁+1=15-4+1=12，
∴a_n+1-a_n+1
=3•（a_n-a_n-1+1）
=3²•（a_n-1-a_n-2+1）
=…
=3^n-1•（a₂-a₁+1）
=4•3ⁿ，
∴a_n+1=（a_n+1-a_n+1）+（a_n-a_n-1+1）+…+（a₂-a₁+1）+a₁-n
=4（3ⁿ+3^n-1+…+3）+4-n
=4•$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$+4-n
=2•3ⁿ⁺¹-（n+1）-1，
∵a₁=4、a₂=15满足上式，
∴a_n=2•3ⁿ-n-1．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．