题目内容
【题目】如图1,四边形为直角梯形,
,
,
,
,
为
上一点,
为
的中点,且
,
,现将梯形沿
折叠(如图2),使平面
平面
.
(1)求证:平面平面
.
(2)能否在边上找到一点
(端点除外)使平面
与平面
所成角的余弦值为
?若存在,试确定点
的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析.(2)存在点,为线段
中点
【解析】
(1)根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理,即可证得平面平面
;
(2)以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面
和平面
的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.
(1)在直角梯形中,作于
于
,连接
,
则,
,则
,
,
则,
在直角中,可得
,
则,
所以,
故,且折叠后
与
位置关系不变.
又因为平面平面
,且平面
平面
,
所以平面
,
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)在中,由
,
为
的中点,可得
.
又因为平面平面
,且平面
平面
,
所以平面
,则以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
则,
,
设平面的法向量为
,则
,
令,可得平面
的法向量为
,
假设存在点
使平面
与平面
所成角的余弦值为
,且
(
),
∵,∴
,故
,
又,∴
,
又由,
设平面的法向量为
,可得
,
令得
,
∴,解得
,
因此存在点且
为线段
中点时使平面
与平面
所成角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患,某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如图的列联表.已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是
.
(1)求列联表中的
,
的值;
男性 | 女性 | 合计 | |
反感 | 10 | ||
不反感 | 8 | ||
合计 | 30 |
(2)根据列联表中的数据,判断是否有95%把握认为反感“中国式过马路”与性别有关?
临界值表:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
参考公式:,