Question

【题目】已知椭圆C：（）的一个焦点为，点在C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）椭圆C的两焦点分别为，，由，可求得的值，结合椭圆的定义，可求得的值，再结合，可求出的值，进而可得到椭圆C的方程；

（2）设l方程为，联立，消去得到关于的一元二次方程，设，，可表示出、的方程，联立两直线方程，并结合韦达定理，可证明点Q在某条定直线上.

（1）依题意，椭圆C的两焦点分别为，，

则，

所以，即，

又，所以，

故椭圆C的方程为.

（2）设，，l的方程为，

联立，得，

设，，则，

故，.

又的方程为，的方程为，

联立两直线方程得，

即，

因为，所以，

整理得.

故点Q在定直线上.