Question

设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果实数m、n满足不等式组那么m²＋n²的取值范围是________．

Answer 1

(13,49)

由f(1－x)＋f(1＋x)＝0得，f(n²－8n)＝f[(n²－8n－1)＋1]＝－f[1－(n²－8n－1)]＝－f(－n²＋8n＋2)，所以f(m²－6m＋23)＜－f(n²－8n)＝f(－n²＋8n＋2)，又f(x)是定义在R上的增函数，所以m²－6m＋23＜－n²＋8n＋2，即为(m－3)²＋(n－4)²＜4，且m＞3，所以(m，n)在以(3,4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3,2)时，m²＋n²＝13，圆心(3,4)到原点的距离为5，此时
m²＋n²＝(5＋2)²＝49，所以m²＋n²的取值范围是(13,49)．