Question

【题目】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，求φ和ω的值．

Answer 1

【答案】解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x）， 即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依题设0≤φ≤π，所以解得φ= ，
由f（x）的图象关于点M对称，
得 ，
取x=0，得f（ ）=sin（ ）=cos ，
∴f（ ）=sin（ ）=cos ，
∴cos =0，
又w＞0，得 = +kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω= （2k+1），k=0，1，2，…
当k=0时，ω= ，f（x）=sin（ ）在[0， ]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+ ）=cos2x，在[0， ]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω= ，f（x）=sin（ x+ ）在[0， ]上不是单调函数；
所以，综合得ω= 或2
【解析】由f（x）是偶函数可得的值，图象关于点 对称可得函数关系 ，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．