Question

13．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（1-x），（x-$\frac{1}{2}$）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（$\frac{1}{2}$），c=f（3），则（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． c＜b＜a
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 由函数满足f（x）=f（1-x）知，f（x）关于x=$\frac{1}{2}$对称，又满足不等式）（x-$\frac{1}{2}$）f′（x）＜0，得f（x）的单调性，利用单调性就可以比较a，b，c的大小．

解答 解：∵f（x）=f（1-x），∴函数f（x）的图象关于x=$\frac{1}{2}$对称，∴f（0）=f（1）
又∵（x-$\frac{1}{2}$）f′（x）＜0，∴当$x∈（-∞，\frac{1}{2}）$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当$x∈（\frac{1}{2}，+∞）时$，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵$\frac{1}{2}＜1＜3$
∴$f（\frac{1}{2}）＞f（1）＞f（3）$
∴$f（\frac{1}{2}）＞f（0）＞f（3）$，即b＞a＞c
故选B．

点评 本题利用函数的对称性，单调性比较函数值的大小，属于中档题．