Question

18．函数f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+a}$（a＞1），讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 先求函数的导数，通分，再讨论导函数的正负确定原函数的单调性．

解答 解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）
f′（x）=$\frac{1}{x+1}-\frac{a（x+a）-ax}{（x+a）^{2}}$
=$\frac{x[x-（{a}^{2}-2a）]}{（x+1）（x+a）^{2}}$
①当1＜a＜2时，若x∈（-1，a²-2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（-1，a²-2a）上是增函数
若x∈（a²-2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a²-2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
②当a=2时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数
③当a＞2时，若x∈（-1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（-1，0）上是增函数
若x∈（0，a²-2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a²-2a）上是减函数
若x∈（a²-2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a²-2a，+∞）上是增函数．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．难点是对导函数的讨论．