Question

（14 分）如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

（1）求证：MN//平面PBD；
（2）求证：AQ⊥平面PBD；
（3）求二面角P—DB—M 的大小．

Answer 1

(1)略
(2)略
(3)

解：M、N、Q、B的位置如右图示。（正确标出给1分）
（1）∵ND//MB且ND=MB
∴四边形NDBM为平行四边形
∴MN//DB………………3分
∴BD平面PBD，MN
∴MN//平面PBD……………………4分
（2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
∴BD⊥QC……………………5分
又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面AQC…………………………6分
∵AQ面AQC
∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，
∵BDPD=B
∴AQ⊥面PDB……………………………8分
（3）解法1：分别取DB、MN中点E、F连结
PE、EF、PF………………9分
∵在正方体中，PB=PB
∴PE⊥DB……………………10分
∵四边形NDBM为矩形
∴EF⊥DB
∴∠PEF为二面角P—DB—M为平面角…………11分
∵EF⊥平面PMN
∴EF⊥PF
设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中
∵
∴
…………………………13分
解法2：设正方体的棱长为a，
以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图：
则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分
∴………………10分
∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB
∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量……………………12分
∴

∴………………13分