题目内容
(本小题共13分)
已知正方形ABCD的边长为1,.将正方形ABCD沿对角线折起,使,得到三棱锥A—BCD,如图所示.
(I)若点M是棱AB的中点,求证:OM∥平面ACD;
(II)求证:;
(III)求二面角的余弦值.
已知正方形ABCD的边长为1,.将正方形ABCD沿对角线折起,使,得到三棱锥A—BCD,如图所示.
(I)若点M是棱AB的中点,求证:OM∥平面ACD;
(II)求证:;
(III)求二面角的余弦值.
(1)略
(2)略
(3)
解:(I)在正方形ABCD中,是对角线的交点,
O为BD的中点, ---------------------1分
又M为AB的中点,
OM∥AD. ---------------------2分
又AD平面ACD,OM平面ACD, ---------------------3分
OM∥平面ACD. ---------------------4分
(II)证明:在中,,, ---------------------5分
,. ---------------------6分
又 是正方形ABCD的对角线,
, --------------------7分
又. --------------------8分
(III)由(II)知,则OC,OA,OD两两互相垂直,如图,以O为原点,建立
空间直角坐标系.
则,
是平面的一个法向量. --------------------9分
,,
设平面的法向量,则,.
即, --------------------11分
所以且令则,,解得.
--------------------12分
从而,二面角的余弦值为..
O为BD的中点, ---------------------1分
又M为AB的中点,
OM∥AD. ---------------------2分
又AD平面ACD,OM平面ACD, ---------------------3分
OM∥平面ACD. ---------------------4分
(II)证明:在中,,, ---------------------5分
,. ---------------------6分
又 是正方形ABCD的对角线,
, --------------------7分
又. --------------------8分
(III)由(II)知,则OC,OA,OD两两互相垂直,如图,以O为原点,建立
空间直角坐标系.
则,
是平面的一个法向量. --------------------9分
,,
设平面的法向量,则,.
即, --------------------11分
所以且令则,,解得.
--------------------12分
从而,二面角的余弦值为..
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