题目内容
（本小题共13分）
已知正方形ABCD的边长为1，
．将正方形ABCD沿对角线
折起，使
，得到三棱锥A—BCD，如图所示．
（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
（II）求证：
；
（III）求二面角
的余弦值．
已知正方形ABCD的边长为1，
．将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥A—BCD，如图所示．（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
（II）求证：
；（III）求二面角
的余弦值．（1）略
（2）略
（3）
解：(I)
在正方形ABCD中，
是对角线
的交点，
O为BD的中点， ---------------------1分
又M为AB的中点，
OM∥AD. ---------------------2分
又AD
平面ACD，OM
平面ACD， ---------------------3分
OM∥平面ACD. ---------------------4分
（II）证明：在
中，，
， ---------------------5分
，
. ---------------------6分
又 是正方形ABCD的对角线，
， --------------------7分
又
. --------------------8分
（III）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立
空间直角坐标系
.
则
，
是平面
的一个法向量. --------------------9分
，
，
设平面
的法向量
,则
，
.
即
， --------------------11分
所以
且
令
则
，
，解得
.
--------------------12分
从而
，二面角的余弦值为..
在正方形ABCD中，是对角线的交点，O为BD的中点， ---------------------1分又M为AB的中点，
OM∥AD. ---------------------2分又AD
平面ACD，OM平面ACD， ---------------------3分OM∥平面ACD. ---------------------4分（II）证明：在
中，，， ---------------------5分，. ---------------------6分又
是正方形ABCD的对角线，， --------------------7分又
. --------------------8分（III）由（II）知
，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系
.则
， 是平面的一个法向量. --------------------9分，， 设平面
的法向量,则，.即
， --------------------11分所以
且令则，，解得. --------------------12分
从而
，二面角的余弦值为..
练习册系列答案
相关题目
中，
、
分别是棱
,
上的点，
,
.
与
所成角的余弦值；
平面
；
的正弦值.
，
面ABF；
平面BCEF？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由。
中，
，
．
，
，
．
；
；
，若
，求
的值。
中,三个侧面均为矩形,底面
为等腰直角三角形, 
,点
为棱
的中点,点
在棱
上运动.
；
的平面角的余弦值为
，求点
的距离；
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.