题目内容

(本小题共13分)
已知正方形ABCD的边长为1,.将正方形ABCD沿对角线折起,使,得到三棱锥ABCD,如图所示.
(I)若点M是棱AB的中点,求证:OM∥平面ACD
(II)求证:
(III)求二面角的余弦值.

(1)略
(2)略
(3)
解:(I)在正方形ABCD中,是对角线的交点,
OBD的中点,                                             ---------------------1分
MAB的中点,
 OMAD.                                                  ---------------------2分
AD平面ACDOM平面ACD,                             ---------------------3分
OM∥平面ACD.                                             ---------------------4分
(II)证明:在中,,              ---------------------5分
.                         ---------------------6分
 是正方形ABCD的对角线,
,                                               --------------------7分
.                           --------------------8分
(III)由(II)知,则OCOAOD两两互相垂直,如图,以O为原点,建立
空间直角坐标系.
,               
是平面的一个法向量.                     --------------------9分
,                      
设平面的法向量,则.
,                              --------------------11分
所以,解得.
--------------------12分
从而,二面角的余弦值为..
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