题目内容
【题目】在如图的空间几何体中,四边形为直角梯形,
,
,
,且平面
平面
,
为棱
中点.
(1)证明:;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取中点为
,连接
和
,先证明四边形
为平行四边形,可得
.由题意得
,则
,即得证;
(2)建立空间直角坐标系,求出平面和平面
的法向量,用向量的方法求解.
(1)证明:取中点为
,连接
和
,如图所示
因为,且
,
又因为,且
,
故,且
,
即四边形为平行四边形,故
,
,
为
中点,
;
又,
.
(2)平面
平面
,平面
平面
,
平面
,
又平面
,
.
由(1)知,
平面
,
平面
,而
平面
,
,
,
.
取中点
连接
和
,四边形
为直角梯形,则
,
平面
,
平面
,又
平面
,
平面
,故
,
,
分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立直角坐标系,如图所示
,
则,
,
,
,
故,
,
,
易知平面的一个法向量为
,
设平面的一个法向量为
,则
,即
,令
,
.
设二面角的为
,则
,
.
二面角
的正弦值为
.
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