Question

【题目】已知函数

（1）若函数在处取得极值1，证明：

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）求出函数的导函数，由在处取得极值1，可得且.解出，构造函数，分析其单调性，结合，即可得到的范围，命题得证；
（2）由分离参数，得到恒成立，构造函数，求导函数，再构造函数，进行二次求导.由知，则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点，且.由此判断出时，单调递减，时，单调递增，则，即.由得，再次构造函数，求导分析单调性，从而得，即，最终求得，则.

解：（1）由题知，

∵函数在，处取得极值1，

，且，

，

，

令，则

为增函数，

，即成立.

（2）不等式恒成立，

即不等式恒成立，即恒成立，

令，则

令，则,

，，

在上单调递增，且，

有唯一零点，且，

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

，

由整理得

，

令，则方程等价于

而在上恒大于零，

在上单调递增，

.

，

∴实数的取值范围为.