题目内容
【题目】已知是定义在[-1,1]上的奇函数且
,若ab∈[-1,1],a+b≠0,有
成立.
(1)判断函数在[-1,1]上是增函数还是减函数,并加以证明.
(2)解不等式.
(3)若对所有,
恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)是增函数,证明见解析;(2) ;(3)
【解析】
(1)要证明在
上的单调性,应考虑定义,设出
上的两个变量,作差
并根据
对其变形,判断出它的符号,即得其单调性;
(2)在(1)证明其单调性的基础上,结合其定义域和奇偶性,把不等式转化为关于
的不等式组求解;
(3)若对所有,
恒成立,则
,对
恒成立,进而构造函数
,可得:
,解得实数
的取值范围.
(1)任取,且
,则
,
又∵为奇函数,
∴,
由已知得,
,
∴,即
.
∴在
上单调递增.
(2)∵在
上单调递增,
∴,∴
,
∴不等式的解集为.
(3)因为在[﹣1,1]上是增函数,
所以,即1是
的最大值.
若对所有
恒成立,
则有,对
恒成立,
即恒成立.
令,它的图象是一条线段,
那么,
解得:.
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