Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax-1（x≤2）}\\{lo{g}_{a}（x-1）（x＞2）}\end{array}\right.$．
（1）若a=2，判断函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=2，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x-1（x≤2）\\ lo{g}_{2}（x-1）（x＞2）\end{array}\right.$．根据一次函数和对数函数的图象和性质，结合x=2时，两段函数的函数值的关系，可判断函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）是定义域上的单调函数，则两段函数均为增函数，且在x=2时，左段函数值不大于右段函数值，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=2，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x-1（x≤2）\\ lo{g}_{2}（x-1）（x＞2）\end{array}\right.$．（1分）
当x≤2时，f（x）=2x-1是增函数，…（2分）
当x＞2时，f（x）=log₂（x-1）+3是增函数．…（3分）
且2×2-1=log₂（2-1）+3，…（4分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax-1（x≤2）}\\{lo{g}_{a}（x-1）（x＞2）}\end{array}\right.$．在R上是增函数．…（6分）
（2）由于底数a＞0，
∴f（x）=ax-1是增函数，．…（8分）
要函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax-1（x≤2）}\\{lo{g}_{a}（x-1）（x＞2）}\end{array}\right.$．是定义域上的单调函数，
则 $\left\{\begin{array}{l}a＞1\\{log_a}（2-1）+3≥2a-1\end{array}\right.$，解得1＜a≤2，
∴a的取值范围为：1＜a≤2．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，熟练掌握一次函数和对数函数的图象和性质，并正确理解分段函数单调性的含义是解答的关键．