Question

8．已知函数f（x）=（cosx-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx）sinx，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）若0＜x＜$\frac{π}{3}$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）通过向量的数量积以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求f（x）的最小正周期及对称中心； 
（2）通过0＜x＜$\frac{π}{3}$，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的值域，直接求解函数的值域；

解答 解：（1）∵函数f（x）=（cosx-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx）sinx
=sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∵ω=2，
所以T=π，
所以函数的最小正周期是π．
令sin（2x+$\frac{π}{6}$）=0，
则2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故函数图象的对称中心坐标为（$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{12}$，-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）（k∈Z），
（2）若0＜x＜$\frac{π}{3}$，则$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴0＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$≤$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故f（x）的值域为（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$]

点评 本题考查正弦函数的对称性，两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域的知识，考查计算能力．