题目内容
【题目】设数列是公差大于的等差数列, 为数列的前项和.已知,且构成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,设是数列的前项和,证明: .
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)(1)利用等差数列前n项和、通项公式和等比数列,列出方程组,求出首项与公差,由此能求出数列{an}的通项公式.
(2)推导出bn==(2n-1) ,利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和,由此能证明Tn<6.
试题解析:
(1)设数列{an}的公差为d,则d>0.
因为S3=9,所以a1+a2+a3=3a2=9,即a2=3.
因为2a1,a3-1,a4+1构成等比数列,
所以(2+d)2=2(3-d)(4+2d),
所以d=2.所以an=a2+(n-2)d=2n-1.
(2)证明:因为=2n-1(n∈N*),所以bn==(2n-1) ,
所以Tn=1×+3×+…+(2n-1)×,①
所以Tn=1×+3×+…+(2n-3)×+(2n-1)×,②
由①②两式相减得Tn=1+2×+2×+…+2×-(2n-1)×=1+-=3--,整理化简得Tn=6-.又因为n∈N*,所以Tn=6-<6.
点睛:用错位相减法求和应注意的问题:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
【题目】某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,搭载每件产品有关数据如表:
因素 | 产品 | 产品 | 备注 |
研制成本、搭载费用之和/万元 | 20 | 30 | 计划最大投资 |
金额300万元产品质量/千克 | 10 | 5 | 最大搭载 |
质量110千克预计收益/万元 | 80 | 60 | —— |
则使总预计收益达到最大时, 两种产品的搭载件数分别为( )
A. 9,4 B. 8,5 C. 9,5 D. 8,4
【题目】下表数据为某地区某种农产品的年产量(单位:吨)及对应销售价格(单位:千元/吨).
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
70 | 65 | 55 | 38 | 22 |
(1)若与有较强的线性相关关系,根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)若该农产品每吨的成本为13.1千元,假设该农产品可全部卖出,利用上问所求的回归方程,预测当年产量为多少吨时,年利润最大?
(参考公式:回归直线方程为,其中)