Question

【题目】已知曲线C上任一点P到点F（1,0）的距离比它到直线的距离少1．

（1）求曲线C的方程；

（2）过点作两条倾斜角互补的直线与曲线C分别交于点A、B，试问：直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线AB的斜率为定值-1，理由详见解析。

【解析】

试题分析：

（1）本问考查求轨迹方程问题，根据题中条件，曲线C上的点P到定点F（1，0）的距离比它到定直线l:x=-2的距离少1，那么可以将问题转化为曲线C上的点到定点F（1,0）的距离与到定直线x=-1的距离相等，这样由抛物线定义可知，曲线C为抛物线，以F为焦点，以直线l为准线，所以p=2，抛物线方程为，于是得到曲线C的方程y2=4x；

（2）由直线倾斜角互补可知，两直线QA，QB的斜率互为相反数，那么将QA，QB的斜率可以用坐标表示出来，设A（x1,y1）,B（x2,y2），于是， 即，由于A,B两点在抛物线上满足，，所以，则。所以整理得出：， 则 ，所以直线AB的斜率为定值-1。第（2）问考查直线与圆锥曲线的位置关系，要求学生能够将几何问题坐标化，考查学生的转化能力。

试题解析：（1）因为P到点F（1,0）的距离比它到直线的距离少1

所以P到点F（1,0）的距离与它到直线的距离相等

所以由抛物线定义可知点P的轨迹是以F为焦点、以直线为准线的抛物线

所以P=2，

所以曲线C的方程为

（2）直线AB的斜率为定值-1，理由如下：

设则

因为直线AQ，BQ倾斜角互补

所以 即

所以

所以