Question

【题目】定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数．给出如下命题：

① 函数是函数的一个承托函数；

② 函数是函数的一个承托函数；

③ 若函数是函数的一个承托函数，则的取值范围是；

④ 值域是的函数不存在承托函数。 其中，所有正确命题的序号是__．

Answer 1

【答案】②③

【解析】

解：

①,∵x>0时,f(x)=lnx∈(∞,+∞)，

∴不能使得f(x)g(x)=2对一切实数x都成立，故①错误；

②,令t(x)=f(x)g(x),则t(x)=x+sinx(x1)=sinx+10恒成立,故函数g(x)=x1是函数f(x)=x+sinx的一个承托函数，②正确；

③,令h(x)=exax,则h′(x)=exa，

由题意，a=0时，结论成立；

a≠0时,令h′(x)=exa=0，则x=lna，

∴函数h(x)在(∞,lna)上为减函数,在(lna,+∞)上为增函数，

∴x=lna时，函数取得最小值aalna；

∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数，

∴aalna0，

∴lna1，

∴0<ae，

综上，0ae，故③正确；

④,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x1,则f(x)g(x)=10恒成立,故g(x)=2x1是f(x)=2x的一个承托函数，④错误；

综上所述，所有正确命题的序号是②③。

正确的命题的个数为2.