题目内容
【题目】直三棱柱中,
,
分别是
,
的中点,
,
为棱
上的点.
证明:
;
证明:
;
是否存在一点
,使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?若存在,说明点
的位置,若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)当D为中点.
【解析】
根据线面垂直的性质定理证明
面
即可.
建立空间坐标系,求出直线对应的向量,利用向量垂直的关系进行证明.
求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.
证明:
,
,
,
又,
,
面
.
又面
,
,
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系
,
则有,
设且
,
即y,
,0,
,则
0,
,
,
,
,所以
;
结论:存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为
,理由如下:
由题可知面ABC的法向量,设面DEF的法向量为
,
则,
,
,即
,
令,则
.
平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为
,
,
即,
解得或
舍
,
所以当D为中点时满足要求.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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