题目内容
【题目】已知椭圆的离心率
,且经过点
.
(1)求椭圆方程;
(2)过点的直线与椭圆交于
两个不同的点,求线段
的垂直平分线在
轴截距的范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)将点坐标代入椭圆方程,与离心率联立方程组,解得a,b(2)先设的方程,与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得MN中点坐标以及斜率k取值范围,根据点斜式得线段
的垂直平分线方程,解得在
轴截距关于斜率k函数关系式,最后利用导数求函数最值,得其范围
试题解析:(1)
(2)的斜率不存在时,
的垂直平分线与
轴重合,没有截距,故
的斜率存在.
设的方程为
,代入椭圆方程
得:
与椭圆有两个不同的交点
,即
,即
或
设的中点
则
的垂直平分线
的方程为
在
轴上的截距
设,则
,
时,
恒成立
时,
时
的垂直平分线在
轴上的截距的范围是
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