Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可知 ，设 且 ，求出点 的坐标，求出方程，得到 ，进而写出直线的斜率为 ，直线的斜率为 利用 ，即可证明；

（Ⅱ）设直线与轴的交点为，利用 的面积是的面积的两倍，求出的坐标，由kAB＝kDE可得＝ (x≠1).讨论即可得到 中点的轨迹方程．

试题解析：

(1)证明　由题意可知F，

设l1：y＝a，l2：y＝b，且ab≠0，A，B，P，Q，

R.记过A，B两点的直线为l，

则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.

因为点F在线段AB上，所以ab＋1＝0，

记直线AR的斜率为k1，直线FQ的斜率为k2，

所以k1＝，k2＝＝－b，

又因为ab＋1＝0，

所以k1＝＝＝＝＝－b，

所以k1＝k2，即AR∥FQ.

(2)解　设直线AB与x轴的交点为D(x1，0)，

所以S△ABF＝|a－b|FD＝|a－b|，

又S△PQF＝，所以由题意可得S△PQF＝2S△ABF

即：＝2××|a－b|·，

解得x1＝0(舍)或x1＝1.

设满足条件的AB的中点为E(x，y).

当AB与x轴不垂直时，

由kAB＝kDE可得＝ (x≠1).

又＝，所以y2＝x－1(x≠1).

当AB与x轴垂直时，E与D重合，

所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.