题目内容
【题目】已知抛物线上一点
到其焦点
的距离为4,椭圆
的离心率
,且过抛物线的焦点
.
(1)求抛物线和椭圆
的标准方程;
(2)过点的直线
交抛物线
于
两不同点,交
轴于点
,已知
,
,求证:
为定值.
【答案】(1)抛物线的方程为,椭圆的标准方程为
;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)利用抛物线C1:y2=2px上一点M(3,y0)到其焦点F的距离为4;求出p,即可得到抛物线方程,通过椭圆的离心率e=,,且过抛物线的焦点F(1,0)求出a,b,即可得到椭圆的方程;
(2)直线l1的斜率必存在,设为k,设直线l与椭圆C2交于A(x1,y1),B(x2,y2),求出直线l的方程为y=k(x-1),N(0,-k),联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理以及判别式,通过向量关系式即可求出λ+μ为定值.
试题解析:
(Ⅰ)抛物线的准线为, 所以
,所以
抛物线的方程为
所以,
,解得
所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ)直线的斜率必存在,设为
,设直线
与抛物线
交于
则直线的方程为
,
联立方程组:
所以
,
(*)
由得:
得:
所以
将(*)代入上式,得
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