题目内容
【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , a4+a7=20,对任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 .
(I) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}定义如下:2mbm(m∈N*)是使不等式an≥m成立所有n中的最小值,求{bn}的通项公式及{(﹣1)m﹣1bm}的前2m项和T2m .
【答案】解:(I)设等差数列{an}的公差为d,∵a4+a7=20,对任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 .
∴2a1+9d=20,S2=3S1+1即a1+a2=3a1+1,亦即d=a1+1,联立解得a1=1,d=2,
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
(II)由an≥m,可得:2n﹣1≥m,解得:n≥ .
当m=2k﹣1时,k∈N* , 2mbm=k,即bm= =
.
当m=2k时,k∈N* , 2mbm=k+1,即bm= =
=
.
∴bm= .
当k∈N*时,(﹣1)2k﹣1﹣1b2k﹣1+(﹣1)2k﹣1b2k= ﹣
=
.
∴T2m=(b1﹣b2)+(b3﹣b4)+…+(b2m﹣1﹣b2m)= +
+
+…+
+
,
即T2m=0+ +
+…+
+
,
T2m=0+
+
+…+
+
,
∴ T2m=
+
+…+
﹣
=
﹣
=
﹣
,
∴T2m=
【解析】(I)设等差数列{an}的公差为d,由a4+a7=20,对任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 . 可得2a1+9d=20,S2=3S1+1即d=a1+1,联立解出即可得出.(II)由an≥m,可得:2n﹣1≥m,可得:n≥ .当m=2k﹣1时,k∈N* , 2mbm=k,可得bm=
.当m=2k时,k∈N* , 2mbm=k+1,可得bm=
.即可得出bm . 当k∈N*时,(﹣1)2k﹣1﹣1b2k﹣1+(﹣1)2k﹣1b2k=
.利用分组求和、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式).
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