题目内容
【题目】已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
，过作与
轴垂直的直线与椭圆交于
两点，
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设过点的直线
的斜率存在且不为0，直线交椭圆于
两点，若
中点为
，
为原点，直线
交
于点
，若以
为直径的圆过右焦点，求
的值．
【答案】（1）
； （2）
.
【解析】
（1）根据离心率为
，
，结合性质
，列出关于
、
、
的方程组，求出 、，即可得椭圆
的方程；（2）设
，直线
的方程为
，代入椭圆方程可得
，根据韦达定理和中点坐标公式，结合圆的性质以及平面向量垂直的坐标表示列方程，即可求出
的值.
(1) 由
，①
过
作与
轴垂直的直线与椭圆交于
两点，，
, ②
又
，③
由①②③解得
，
椭圆方程为
.
（2）设，
直线的方程为，代入椭圆方程可得，
，
点的坐标为
，直线
的方程为
，
直线交
于点
，
以
为直径的圆过右焦点，
，
，
，
整理可得
，解得
.
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