题目内容
【题目】如图,设抛物线 : 的准线 与 轴交于椭圆 : 的右焦点 , 为 的左焦点.椭圆的离心率为 ,抛物线 与椭圆 交于 轴上方一点 ,连接 并延长交 于点 , 为 上一动点,且在 , 之间移动.
(1)当 时,求 的方程;
(2)若 的边长恰好是三个连续的自然数。求到直线距离的最大值以及此时 的坐标.
【答案】(1);(2)最大值为,此时.
【解析】
(1)根据题意得到,,则 ,,因为 ,从而求出参数值,进而得到方程;(2)联立椭圆和抛物线得到点P的坐标,由椭圆定义得到,,,又 的边长恰好是三个连续的自然数,所以 ,此时联立直线PQ和抛物线方程求得点Q的坐标,,设出点M的坐标得到直线 的距离为 ,则 ,结合二次函数的特点得到最值.
(1) 因为 ,,则 ,,因为 ,所以,,
所以椭圆 的方程为 .
(2) 因为 ,,则 ,,设椭圆的标准方程为 ,,,由 得 ,
所以 或 (舍去),代入抛物线方程得 ,
即 ,于是 ,,,
又 的边长恰好是三个连续的自然数,所以 .
此时抛物线方程为 ,,,
则直线 的方程为 ,
联立
得 或 (舍去),
于是 ,
所以 ,
设 到直线 的距离为 ,则 ,
当 时,,此时
【题目】第 届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日 21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位:枚).
| 第31届里约 | 第30届伦敦 | 第29届北京 | 第28届雅典 | 第27届悉尼 |
中国 | 26 | 38 | 51 | 32 | 28 |
俄罗斯 | 19 | 24 | 24 | 27 | 32 |
(1)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图,并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度(不要求计算出具体数值,给出结论即可);
(2)下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和 (从第 届算起,不包括之前已获得的金牌数)随时间 (时间代号)变化的数据:
届 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
时间代号(x) | 1 | 2 | 3 | 5 | |
金牌数之和(y枚) | 28 | 60 | 111 | 149 | 175 |
作出散点图如下:
①由图中可以看出,金牌数之和 与时间代号 之间存在线性相关关系,请求出 关于 的线性回归方程;
②利用①中的回归方程,预测2020年第32届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数.
参考数据:,,.
附:对于一组数据 ,,,,其回归直线的斜率的最小二乘估计为.