Question

5．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=$\frac{π}{3}$，acosA=bcosB．
（1）求角B的大小；
（2）如图，在△ABC内取一点P，使得PB=2．过点P分别作直线BA、BC的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PBA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．

Answer 1

分析 （1）由acosA=bcosB及正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$． 由于C=$\frac{π}{3}$，即可得出．
（2）由题设，得在Rt△PMB中，PM=PB•sin∠PBM=2sinα；在Rt△PNB中，同理可得PN=2sin（$\frac{π}{3}$-α），α∈（0，$\frac{π}{3}$）．于是PM+PN=2sin（α+$\frac{π}{3}$）．由于α∈（0，$\frac{π}{3}$），可得sin（α+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可得出．

解答 解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），
∴有A=B或A+B=$\frac{π}{2}$．  
又∵C=$\frac{π}{3}$，得A+B=$\frac{2π}{3}$，与A+B=$\frac{π}{2}$矛盾，
∴A=B，因此B=$\frac{π}{3}$． 
（2）由题设，得在Rt△PMB中，PM=PB•sin∠PBM=2sinα；
在Rt△PNB中，PN=PB•sin∠PBN=PB•sin（$\frac{π}{3}$-∠PBA）=2sin（$\frac{π}{3}$-α），α∈（0，$\frac{π}{3}$）．
∴PM+PN=2sinα+2sin（$\frac{π}{3}$-α）=sinα+$\sqrt{3}$cosα=2sin（α+$\frac{π}{3}$）．
∵α∈（0，$\frac{π}{3}$），∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），从而有sin（α+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
即2sin（α+$\frac{π}{3}$）∈（$\sqrt{3}$，2]．
于是，当α+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$时，PM+PN取得最大值2．

点评 本题查克拉正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．