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17．若椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）| A． | $\frac{4}{5}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{2}{5}$ |
分析 设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．焦距为2c．根据椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，可得2×2c=2a+2b，化简再利用b2=a2-c2即可得出．
解答 解：设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．焦距为2c．
∵椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，
∴2×2c=2a+2b，
化为2c=a+b，
∴（2c-a）2=b2=a2-c2，
化为：5c-4a=0，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$．
故选：A．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B． | $\frac{5}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | D． | $\frac{5}{4}$ |