Question

【题目】设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设A（x1， ），B（x2， ）为曲线C：y= 上两点，

则直线AB的斜率为k= = （x1+x2）= ×4=1；

（2）

设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y= ，

可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，

再由y= 的导数为y′= x，

设M（m， ），可得M处切线的斜率为 m，

由C在M处的切线与直线AB平行，可得 m=1，

解得m=2，即M（2，1），

由AM⊥BM可得，kAMkBM=﹣1，

即为 =﹣1，

化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，

即为﹣4t+8+20=0，

解得t=7．

则直线AB的方程为y=x+7．

【解析】（1.）设A（x1 ， ），B（x2 ， ），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；
（2.）设M（m， ），求出y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1 ， x2的关系式，再由直线AB：y=x+t与y= 联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的斜率的相关知识，掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα．