题目内容
【题目】在四棱锥P﹣ABCD中， 
， 
，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O． 
（1）求证：O是AD中点；
（2）证明：BC⊥PB；
（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【答案】
（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，
∴PA=PB=PD，
又∵PO⊥底面ABCD，
∴OA=OB=OD，
则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，
∴点O为AD中点
（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，
于是PO⊥面ABCD，
∴BC⊥PO，
∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，
∴ 
，
又 
，∴ 
，
从而 
即CB⊥BO，
由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，
∴BC⊥PB
（3）解：以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，
∵AB=2，则O（0，0，0）， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，
设面PAB的法向量为 
，则 
， 
，得 
， 
，
取x=1，得y=﹣1，z=1，
故 
．
设面PBC的法向量为 
，则 
， 
，得s=0， 
，
取r=1，则t=1，故 
，
于是 
，
由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，
所以该二面角的余弦值为- 
【解析】（1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O为AD中点．（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．
【考点精析】利用直线与平面垂直的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂直于同一个平面的两条直线平行．
