题目内容
【题目】如图，已知圆柱内有一个三棱锥
，
为圆柱的一条母线，
，
为下底面圆
的直径，
，
.
（1）在圆柱的上底面圆内是否存在一点
，使得
平面
？证明你的结论.
（2）设点
为棱
的中点，
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）当点
为上底面圆的圆心时，证明见解析.（2）
【解析】
（1）当点为上底面圆的圆心时，
平面
，取上底面圆的圆心为
，连接
，
，
，
，先证明四边形
为平行四边形，可得到
，然后可得四边形
为平行四边形，然后得到
即可.
（2）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，算出平面
的法向量，平面
的一个法向量为
，然后算出答案即可.
（1）当点为上底面圆的圆心时，平面.
证明如下：
如图，取上底面圆的圆心为，连接，，，，
则
，
.
所以四边形为平行四边形，
所以
，所以.
又
，所以四边形为平行四边形，
所以.
因为
平面，
平面，
所以
平面.
故点为上底面圆的圆心时，平面.
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
于是可得
，
，
，
，
，
，
所以
，
.
设平面的一个法向量为
，
由
，得
.
令
，则可取
.
取平面的一个法向量为.
设平面与平面所成的锐二面角为
，则
，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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，
，
（，，的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示：（表中的数据都以一个疗程计）
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单价（单位：元） | 600 | 1000 | 800 |
治愈率 |
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市场使用量（单位：人） | 305 | 122 | 183 |
（Ⅰ）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？
（Ⅱ）试估算每名感染患者在一个疗程的药物治疗费用平均是多少.
