题目内容
【题目】如图，已知圆柱内有一个三棱锥
，
为圆柱的一条母线，
，
为下底面圆
的直径，
，
.
（1）在圆柱的上底面圆内是否存在一点
，使得
平面
？证明你的结论.
（2）设点
为棱
的中点，
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）当点
为上底面圆的圆心时，证明见解析.（2）
【解析】
（1）当点为上底面圆的圆心时，
平面
，取上底面圆的圆心为
，连接
，
，
，
，先证明四边形
为平行四边形，可得到
，然后可得四边形
为平行四边形，然后得到
即可.
（2）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，算出平面
的法向量，平面
的一个法向量为
，然后算出答案即可.
（1）当点为上底面圆的圆心时，平面.
证明如下：
如图，取上底面圆的圆心为，连接，，，，
则
，
.
所以四边形为平行四边形，
所以
，所以.
又
，所以四边形为平行四边形，
所以.
因为
平面，
平面，
所以
平面.
故点为上底面圆的圆心时，平面.
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
于是可得
，
，
，
，
，
，
所以
，
.
设平面的一个法向量为
，
由
，得
.
令
，则可取
.
取平面的一个法向量为.
设平面与平面所成的锐二面角为
，则
，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【题目】我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2019年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示：
薪资
岗位 |
|
|
|
|
数据开发 |
|
|
|
|
数据分析 |
|
|
|
|
数据挖掘 |
|
|
|
|
数据产品 |
|
|
|
|
由表中数据可得该市各类岗位的薪资水平高低情况为（ ）
A.数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析
B.数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析
C.数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品
D.数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发
【题目】如图，已知圆柱内有一个三棱锥
，
为圆柱的一条母线，
，
为下底面圆
的直径，
，
.
（1）在圆柱的上底面圆内是否存在一点
，使得
平面
？证明你的结论.
（2）设点
为棱
的中点，
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【题目】某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果，选50名患者服药一段时间后，记录了这些患者的生理指标
和
的数据，并统计得到如下的
列联表（不完整）：
|
| 合计 | |
| 12 | 36 | |
| 7 | ||
合计 |
其中在生理指标
的人中，设
组为生理指标
的人，
组为生理指标
的人，他们服用这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，25
（Ⅰ）填写上表，并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标和有关系；
（Ⅱ）从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
附：
，其中
．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】桥牌是一种高雅、文明、竞技性很强的智力性游戏．近年来，在中国桥牌协会“桥牌进校园”活动的号召下，全国各地中小学纷纷积极加入到青少年桥牌推广的大营中．为了了解学生对桥牌这项运动的兴趣，某校从高一学生中随机抽取了200名学生进行调查，经统计男生与女生的人数之比为2：3，男生中有50人对桥牌有兴趣，女生中有20人对桥牌不感兴趣．
（1）完成2×2列联表，并回答能否有
的把握认为“该校高一学生对桥牌是否感兴趣与性别有关”？
感兴趣 | 不感兴趣 | 合计 | |
男 | 50 | —— | —— |
女 | —— | 20 | —— |
合计 | —— | —— | 200 |
（2）从被调查的对桥牌有兴趣的学生中利用分层抽样抽取6名学生，再从6名学生中抽取2名学生作为桥牌搭档参加双人赛．求抽到一名男生与一名女生的概率．
附：参考公式
，其中
．
临界值表：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
