Question

【题目】若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：

①f（x）＝x（x＞0）；

②f（x）＝lnx（0＜x＜3）；

③f（x）＝cosx；

④f（x）＝x2﹣1.

其中为“柯西函数”的个数为（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线，分别判断即可.

对由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1＝kx2，y1＝ky2取等号），

若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，

则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），

使得、共线，即存在点A、B与点O共线.

设AB的方程为y＝kx，由，得，不可能存在两个正数解，故①不是柯西函数；

对于②，由得，

令，由得，此时为增函数；由得，此时为减函数，所以有极大值；

当时，，当时，，

所以当时，有两个不同的交点，故②是柯西函数；

对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，故③是柯西函数

对于④取A（﹣1，0），B（1，0），均满足定义，故④是柯西函数

故选：C.