题目内容
【题目】如图,在平面多边形中,
是边长为2的正方形,
为等腰梯形,
为
的中点,且
,
,现将梯形
沿
折叠,使平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
【解析】
(1)先证明、
,然后证明
平面
即可;
(2)取的中点
,连接
,过点
在平面
内作
的垂线
,以
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,然后再利用空间向量的运算求解即可.
解:(1)连接,
由已知,得,
,
则四边形为菱形,
故.
因为平面平面
,平面
平面
,
所以平面
.
又平面
,
所以
又,
所以平面
.
(2)取的中点
,连接
,
则易知平面
,
过点在平面
内作
的垂线
,以
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
所以.
设平面的法向量为
,
则即
则
,
取,则
,
故为平面
的一个法向量.
设直线与平面
所成的角为
,
则,
从而直线与平面
所成的角为60°.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】如图,已知圆柱内有一个三棱锥,
为圆柱的一条母线,
,
为下底面圆
的直径,
,
.
(1)在圆柱的上底面圆内是否存在一点,使得
平面
?证明你的结论.
(2)设点为棱
的中点,
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【题目】桥牌是一种高雅、文明、竞技性很强的智力性游戏.近年来,在中国桥牌协会“桥牌进校园”活动的号召下,全国各地中小学纷纷积极加入到青少年桥牌推广的大营中.为了了解学生对桥牌这项运动的兴趣,某校从高一学生中随机抽取了200名学生进行调查,经统计男生与女生的人数之比为2:3,男生中有50人对桥牌有兴趣,女生中有20人对桥牌不感兴趣.
(1)完成2×2列联表,并回答能否有的把握认为“该校高一学生对桥牌是否感兴趣与性别有关”?
感兴趣 | 不感兴趣 | 合计 | |
男 | 50 | —— | —— |
女 | —— | 20 | —— |
合计 | —— | —— | 200 |
(2)从被调查的对桥牌有兴趣的学生中利用分层抽样抽取6名学生,再从6名学生中抽取2名学生作为桥牌搭档参加双人赛.求抽到一名男生与一名女生的概率.
附:参考公式,其中
.
临界值表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |