Question

【题目】在如图所示的不规则几何体中，已知四边形是正方形，四边形是平行四边形，平面平面，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3

【解析】

（1）由面面垂直的性质定理得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；

（2）先建立适当的空间直角坐标系，再利用空间向量法求所求的线面角的正弦值，也可以用传统法，先找到所求角的余角，再求线面角的正切值.

（1）证明：四边形是正方形，，

平面平面，且平面平面，

平面，，平面，，

又，，.

，平面，又平面，.

（2）解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则,

，，，

，设平面的法向量为，

，

不妨令，则，平面的一个法向量为，

则，设直线与平面所成的角为，

则，因为，，

故直线与平面所成角的正切值为3.

解法二：取的中点，连接，四边形是正方形，

，，平面，平面，

，平面，平面，

，平面平面，

由（1）知，平面，平面，

平面，，又，

平面，取的中点，连接，则，

平面，即所求角的余角，令，

在中，易知，

，

设直线与平面所成的角为，则，

，

故直线与平面所成角的正切值为3.