Question

10．若F（x）=a•f（x）g（x）+b•[f（x）+g（x）]+c（a，b，c均为常数），则称F（x）是由函数f（x）与函数g（x）所确定的“a→b→c”型函数．设函数f₁（x）=x+1与函数f₂（x）=x²-3x+6，若f（x）是由函数f₁^-1（x）+1与函数f₂（x）所确定的“1→0→5”型函数，且实数m，n满足f（m）=$\frac{1}{2}$f（n）=6，则m+n的值为2．

Answer 1

分析 由新定义，确定f（x）=x（x²-3x+6）+5，利用f（m）=$\frac{1}{2}$f（n）=6，可得m（m²-3m+6）=1，n（n²-3n+6）=7，设m+n=t，则m=t-n，代入m（m²-3m+6）=1，可得（t-n）[（t-n）²-3（t-n）+6]=1，即n³-（3t-3）n²+（3t²-6t+6）n-t³+3t²-6t+1=0，对照n²的系数，可得3t-3=-3，即可得出结论．

解答 解：∵f₁（x）=x+1，∴f₁^-1（x）=x-1，
即f₁^-1（x）+1=x-1+1=x，
∵f（x）是由函数f₁^-1（x）+1与函数f₂（x）所确定的“1→0→5”型函数，
∴f（x）=x（x²-3x+6）+5，
由f（m）=$\frac{1}{2}$f（n）=6可得f（m）=6，f（n）=12，
即m（m²-3m+6）=1，n（n²-3n+6）=7，
设m+n=t，则m=t-n，
代入m（m²-3m+6）=1，可得（t-n）[（t-n）²-3（t-n）+6]=1，
即n³-（3t-3）n²+（3t²-6t+6）n-t³+3t²-6t+1=0，
对照n²的系数，可得3t-3=-3，
∴t=2
故答案为：2．

点评 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确换元是关键．