Question

19．椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，$\sqrt{2}$）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．
（1）求椭圆T的离心率；
（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$为定值．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆T的方程，由椭圆定义求得a，则椭圆的离心率可求；
（2）由（1）求出椭圆T的方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），由A，B在椭圆上，把A，B坐标代入椭圆方程，两式相减得到$\frac{1}{{k}_{1}}=-2\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}$，同理$\frac{1}{{k}_{2}}=-2\frac{{t}_{2}}{{s}_{2}}$，$\frac{1}{{k}_{3}}=-2\frac{{t}_{3}}{{s}_{3}}$，作和后证得答案．

解答 （1）解：设椭圆T的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
由题意知：左焦点为F′（-2，0），∴2a=|EF|+|EF′|=$\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，
解得：$a=2\sqrt{2}，b=2，c=2$．
故椭圆T的离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）证明：由（1）知椭圆T的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8$，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8$，两式相减，得到
（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．
∴${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{1}{2}\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{1}{2}\frac{{s}_{1}}{{t}_{1}}$，即$\frac{1}{{k}_{1}}=-2\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}$，
同理$\frac{1}{{k}_{2}}=-2\frac{{t}_{2}}{{s}_{2}}$，$\frac{1}{{k}_{3}}=-2\frac{{t}_{3}}{{s}_{3}}$．
∴$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}+\frac{1}{{k}_{3}}=-2（\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}+\frac{{t}_{2}}{{s}_{2}}+\frac{{t}_{3}}{{s}_{3}}）$，
又∵直线OM、ON、OP的斜率之和为0，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$=0为定值．

点评 本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形中位线定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口，是中档题．