题目内容

19.椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点为F(2,0),且椭圆T过点E(2,$\sqrt{2}$).△ABC的三个顶点都在椭圆T上,设三条边的中点分别为M,N,P.
(1)求椭圆T的离心率;
(2)设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且ki≠0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为0,求证:$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$为定值.

分析 (1)设出椭圆T的方程,由椭圆定义求得a,则椭圆的离心率可求;
(2)由(1)求出椭圆T的方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
M(s1,t1),N(s2,t2),P(s3,t3),由A,B在椭圆上,把A,B坐标代入椭圆方程,两式相减得到$\frac{1}{{k}_{1}}=-2\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}$,同理$\frac{1}{{k}_{2}}=-2\frac{{t}_{2}}{{s}_{2}}$,$\frac{1}{{k}_{3}}=-2\frac{{t}_{3}}{{s}_{3}}$,作和后证得答案.

解答 (1)解:设椭圆T的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$,
由题意知:左焦点为F′(-2,0),∴2a=|EF|+|EF′|=$\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$,
解得:$a=2\sqrt{2},b=2,c=2$.
故椭圆T的离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2)证明:由(1)知椭圆T的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
M(s1,t1),N(s2,t2),P(s3,t3),
由:${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=8$,${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8$,两式相减,得到
(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.
∴${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{1}{2}\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{1}{2}\frac{{s}_{1}}{{t}_{1}}$,即$\frac{1}{{k}_{1}}=-2\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}$,
同理$\frac{1}{{k}_{2}}=-2\frac{{t}_{2}}{{s}_{2}}$,$\frac{1}{{k}_{3}}=-2\frac{{t}_{3}}{{s}_{3}}$.
∴$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}+\frac{1}{{k}_{3}}=-2(\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}+\frac{{t}_{2}}{{s}_{2}}+\frac{{t}_{3}}{{s}_{3}})$,
又∵直线OM、ON、OP的斜率之和为0,
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$=0为定值.

点评 本题主要考查圆锥曲线的定义的应用,试题在平面几何中的三角形中位线定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇,在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口,是中档题.

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