题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(1)证明:PC⊥AD;
(2)求二面角A﹣PC﹣D的正弦值;
(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.

【答案】
(1)[解法一] 如图,以A为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(﹣ ,0),P(0,0,2).

证明:易得 =(0,1,﹣2), =(2,0,0),于是 =0,所以PC⊥AD.

[解法二] 证明:由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,

又由AD⊥AC,PA∩AC=A,故AD⊥平面PAC,

又PC平面PAC,

所以PC⊥AD.


(2)[解法一] 解: =(0,1,﹣2), =(2,﹣1,0),设平面PCD的一个法向量为 =(x,y,z),则

取z=1,则以 =(1,2,1).又平面PAC的一个法向量为 =(1,0,0),于是cos< >= = ,sin< >=

所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为

[解法二] 解:如图,作AH⊥PC于点H,连接DH,

由PC⊥AD,PC⊥AH,可得PC⊥平面ADH,因此DH⊥PC,从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角.

在RT△PAC中,PA=2,AC=1,所以AH= ,由(1)知,AD⊥AH,在RT△DAH中,DH= = ,因此sin∠AHD= = .所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为


(3)解法一:设E(0,0,h),其中h∈[0,2],由此得 =( ,﹣ ,h).由 =(2,﹣1,0),故cos< >= = =

所以 =cos30°= ,解得h= ,即AE=

[解法二] 解:如图,因为∠ADC<45°,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,

设交点为F,连接BE,EF,故∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CD所成的角.

由于BF∥CD,故∠AFB=∠ADC,在RT△DAC中,CD= ,sin∠ADC= ,故sin∠AFB=

在△AFB中,由 ,AB= ,sin∠FAB=sin135°= ,可得BF=

由余弦定理,BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB,得出AF=

设AE=h,在RT△EAF中,EF= =

在RT△BAE中,BE= =

在△EBF中,因为EF<BE,从而∠EBF=30°,

由余弦定理得到,cos30°=

解得h=

即AE=


【解析】解法一(1)以A为原点,建立空间直角坐标系,通过得出 =0,证出PC⊥AD.(2)求出平面PCD,平面PCD的一个法向量,利用两法向量夹角求解.(3)设E(0,0,h),其中h∈[0,2],利用cos< >=cos30°= ,得出关于h的方程求解即可.解法二:(1)通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD.(2)作AH⊥PC于点H,连接DH,∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角.在RT△DAH中求解(3)因为∠ADC<45°,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF,故∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CD所成的角.在△EBF中,因为EF<BE,从而∠EBF=30°,由余弦定理得出关于h的方程求解即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解用空间向量求直线间的夹角、距离的相关知识,掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则

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