题目内容

17.已知a∈$\left\{{x\left|{{{({\frac{1}{3}})}^x}-x=0}\right.}\right\}$,则$f(x)={log_a}^{({{x^2}-2x-3})}$的增区间为(-∞,-1).

分析 根据函数$y=(\frac{1}{3})^{x}$和y=x的交点便可得出0<a<1,而可看出f(x)是由y=logat和t=x2-2x-3复合而成的复合函数,而函数y=logat为减函数,这样只要求函数t=x2-2x-3在f(x)定义域内的减区间便可得出f(x)的增区间.

解答 解:$y=(\frac{1}{3})^{x}$和y=x的交点横坐标x满足0<x<1;
即方程$(\frac{1}{3})^{x}-x=0$的解x满足0<x<1;
∴0<a<1;
令x2-2x-3=t,设y=f(x),则y=logat为减函数;
解x2-2x-3>0得,x<-1,或x>3;
∴函数t=x2-2x-3在(-∞,-1)∪(3,+∞)上的减区间便是函数f(x)的单调增区间;
∴f(x)的增区间为(-∞,-1).
故答案为:(-∞,-1).

点评 考查函数交点坐标和对应的方程解的关系,对数函数的单调性,以及复合函数的定义,复合函数单调区间的求法,二次函数单调区间的求法.

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