题目内容

12.如图,过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点,且AB=$\frac{1}{3}$AC,作直线AF与圆E相切于点F,连接EF交BC于点D,己知圆E的半径为2,∠EBC=$\frac{π}{6}$.
(1)求AF的长;
(2)求证:AD=3ED.

分析 (1)延长BE交圆E于点M,连结CM,则可求BC=2$\sqrt{3}$,AB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$,利用切割线定理即可求得AF的值.
(2)过E作EH⊥BC于H,可知△EDH与△ADF相似,由$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{3}$,可求AD=3ED.

解答 解:(1)延长BE交圆E于点M,连结CM,则∠BCM=90°,
又BM=2BE=4,∠EBC=30°,所以BC=2$\sqrt{3}$,
又AB=$\frac{1}{3}AC$,可知AB=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$.
所以根据切割线定理AF2=AB•AC=$\sqrt{3}×3\sqrt{3}=9$,即AF=3.(5分)
(2)过E作EH⊥BC于H,则△EDH与△ADF相似,
从而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{3}$,因此AD=3ED.(10分)

点评 本题主要考查了切割线定理的应用,考查了相似三角形的判定,与圆有关的比例线段,属于基本知识的考查.

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