Question

2．设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，且数列{a_n-$\frac{n^2}{2}$}（n∈N^*）是等差数列，数列{b_n-2}（n∈N^*）是等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N⁺，使a_k-b_k∈（0，$\frac{1}{2}$），若存在，求出k，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据{b_n-2}（n∈Z^）是等比数列，可求{b_n-2}的通项公式，进而可求数列{b_n}的通项公式；根据数列{a_n-$\frac{n^2}{2}$}，结合等差数列的性质即可求{a_n}的通项公式；
（2）设f（k）=a_k-b_k，求出函数f（k）的表达式，进而可求其范围，从而得结论．

解答 解：（1）∵{b_n-2} （n∈Z⁺）为等比数列，又b₁-2=4，b₂-2=2，
∴公比$q=\frac{1}{2}$，${b_n}-2=4•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，即${b_n}=2+4•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$（n∈N⁺），
∵{a_n-$\frac{n^2}{2}$}（n∈N^*）是等差数列，又a₁-$\frac{1}{2}$=$6-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$，a₂-$\frac{4}{2}$=2，
∴公差d=2-$\frac{11}{2}$=-$\frac{7}{2}$，
则a_n-$\frac{n^2}{2}$=$\frac{11}{2}$-$\frac{7}{2}$（n-1）=-$\frac{7}{2}$n+9，
即a_n=$\frac{n^2}{2}$-$\frac{7}{2}$n+9=$\frac{{n}^{2}-7n+18}{2}$．
（3）设f（k）=a_k-b_k=（$\frac{1}{2}{k}^{2}-\frac{7}{2}k+9$）-[2+4（$\frac{1}{2}$）^n-1]
=$\frac{1}{2}$[（k-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{49}{4}$]-4（$\frac{1}{2}$）^n-1+7，
则当k≥4时，f（k）是增函数．
又∵f（4）=$\frac{1}{2}$，
∴当k≥2时，f（k）≥$\frac{1}{2}$，
又∵f（1）=f（2）=f（3）=0，
所以不存在k，使a_k-b_k∈（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题的考点是等差数列的通项公式，主要考查数列通项的求解，考查是否存在性问题，关键是转化为等差数列、等比数列研究问题．综合性较强，难度较大．