题目内容
【题目】已知.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)证明:当时,
.
【答案】(Ⅰ)、(Ⅱ)见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)要证,即
,设
,则
,
. 再次构造函数
,通过求导研究函数
的性质可得
在
上恒成立,所以函数
在
上单调递增,所以
,即可得证;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当
时,
且
所以
.当
对
恒成立时,不等式
恒成立.构造函数
,讨论
的单调性,即可得证.
试题解析:(Ⅰ)不等式,即不等式
.
设,则
,
.
再次构造函数,则
在
时恒成立,所以函数
在
上单调递增,所以
,所以
在
上恒成立,所以函数
在
上单调递增,所以
,所以
,即
成立.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的解析可知,当时,
且
,
所以.
当对
恒成立时,不等式
恒成立.
不等式,即不等式
对
恒成立.
构造函数,则
,令
,
则,当
时,
,故
在
上单调递增,
所以,故
,即
在
上单调递增,所以
,
故恒成立.
故当时,
,
即当时,不等式
恒成立.
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练习册系列答案
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【题目】葫芦岛市某高中进行一项调查:2012年至2016年本校学生人均年求学花销(单位:万元)的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年求学花销 | 3.2 | 3.5 | 3.8 | 4.6 | 4.9 |
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2016年本校学生人均年求学花销的变化情况,并预测该地区2017年本校学生人均年求学花销情况.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: